Alejandro Rincón

Tema 2. Movimiento Relativo

por

TEMA 2. CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO RELATIVO

Resumen.

En este tema se va estudiar el concepto de movimiento relativo que se produce entre los distintos cuerpos de un mecanismo. Asimismo se calcula analíticamente las velocidades y aceleraciones relativas de mecanismo con movimiento relativo, apareciendo el concepto de composición de movimiento para velocidades y aceleraciones angulares. Además se estudia el comportamiento cinemático de nuevos pares cinemáticos como el par RP, el par RR y el contacto puntual. Todos los conceptos nuevos se basan en la cinemática de los sistemas indeformables estudiados en el tema 1.

FORMULACIÓN DEL MOVIMIENTO RELATIVO

Un mecanismo está formado por un conjunto de cuerpos o barras unidas entre sí mediante pares cinemáticos. Este mecanismo normalmente pertenece a una máquina diseñada para realizar un trabajo o función. Los mecanismos vistos hasta ahora cuentan con una barra fija (barra 1) y el resto de barras móviles con movimiento de rotación relativo entre ellas, donde el par R tiene la misma velocidad y aceleración para ambos cuerpos (ver tema 1). Sin embargo, pueden presentarse barras unidas por un par cinemático con movimiento relativo, apareciendo una traslación o rotación relativa (ver Fig. 2.1). Para pasar de un cuerpo a otro a través del par cinemático con movimiento relativo es necesario desarrollar nuevas fórmulas que contemplen velocidades y aceleraciones relativas.

 

Figura 2.1. Mecanismo con movimiento relativo.

 

Para la demostración de la formulación es necesario definir un sistema de referencia fijo y otro móvil. El sistema de referencia fijo se sitúa en el cuerpo 1 y el sistema de referencia móvil se fija en el cuerpo 3 con movimiento relativo (Fig. 2.1a), y el sistema de referencia móvil se fija en el punto donde existe movimiento relativo. La nomenclatura de los vectores de posición, velocidad y aceleración, deben contemplar qué punto se está estudiando (superíndice), a qué cuerpo pertenece el punto estudiado (subíndice izquierdo) y respecto a que cuerpo se está estudiando el movimiento relativo (subíndice derecho).  En el caso de la Fig. 2.1 al existir un par R entre el cuerpo 3 y 4, el punto A tiene la misma velocidad para ambos cuerpos, sin embargo la velocidad del punto A del cuerpo 3 respecto al 2 es distinta, ya que existe movimiento relativo. Para obtener la relación de velocidades en un movimiento relativo, se derivan los vectores de posición respecto al tiempo obteniéndose la Ec. 2.1.

 

\overrightarrow{V}_{31}^{A}=\overrightarrow{V}_{32}^{A}+\overrightarrow{V}_{21}^{A} = \overrightarrow{V}_{41}^{A}            (2.1)

 

En esta ecuación, la velocidad absoluta del punto A depende de la velocidad relativa de A en el movimiento del cuerpo 3 respecto al 2, y de la velocidad de arrastre (\ overrightrrow{V}_{21}^{A}  ) que es la velocidad de A como perteneciente al cuerpo 2 respecto al 1. Para estudiar un movimiento relativo donde existe guía, el movimiento relativo se estudia dejando la guía fija, es decir por ejemplo en la Fig. 2.1 se la velocidad relativa estudiada es 3 respecto al 2.

Para el cálculo de la aceleración, se deriva respecto al tiempo la ecuación de la velocidad, obteniendo la ecuación de la aceleración en movimiento relativo, Ec. 2.2. En esta ecuación aparece la aceleración de coriolis provocada por rotación de la velocidad relativa respecto a la velocidad angular donde se encuentra el sistema de referencia móvil (cuerpo 2).

\overrightarrow{a}_{31}^{A}= \overrightarrow{a}_{32}^{A}+ \overrightarrow{a}_{21}^{A} +2\overrightarrow{\omega}_{21}\times\overrightarrow{V}_{32}^{A}=\overrightarrow{a}_{41}^{A}            (2.2)

 

Por tanto, la metodología a seguir en los problemas consiste en llegar a calcular la velocidad del punto estudiado aplicando la ecuación de movimiento relativo (Ec. 2.2), sin embargo la velocidad y aceleración absolutas respecto al cuerpo 1 que forman parte de la ecuación, se calcula utilizando las ecuaciones de sistema indeformable Ec.(11), (14).

 

  • PARES CINEMATICOS CON MOVIMIENTO RELATIVO

Los pares cinemáticos vistos en el tema 1 son el par R, P, Rodadura Pura y Leva (L), sin embargo en el movimiento relativo puede aparecen dos nuevos pares, el par RP y el RR. El par RP (Fig. 2.2a) se encuentra en la unión de dos cuerpos con movimiento relativo, este par está compuesto por un par R (rotación) en un cuerpo y un par P (traslación) en otro cuerpo. Sin embargo para calcular la velocidad y aceleración relativa dejamos fijo el cuerpo con el par P, por tanto las componentes relativas serán de traslación. Por otro lado, en el par RR (Fig. 2.2b) uno de los cuerpos tiene el par R y otro una guía curva, por tanto dejando fija la guía el movimiento relativo es de rotación.

Figura 2.2. Descripción del Par RP (a) y RR(b)

El par P puede aparecer en mecanismos con movimiento relativo, donde las barras conectadas están en movimiento. En estos casos las ecuaciones de movimiento relativo se aplican en un punto del par, dejando fijas una de las barras, conociéndose la dirección del movimiento relativo.

En el caso del par de Rodadura Pura y par de leva (L) para un movimiento relativo (Fig. 2.3), ambos cuerpos tienen movimiento, por tanto se aplican las ecuaciones de movimiento en un punto donde conozcamos la trayectoria seguida durante el movimiento relativo. En el caso de la Fig. 2.3a, la ecuación de movimiento relativo se aplica en el punto A, ya que se conoce la trayectoria del movimiento relativo, es dejando fija la barra 3, el disco 2 se comporta como un disco sobre una superficie plana, por tanto el centro A describe una trayectoria rectilínea. En el caso de la Fig. 2.3b, los cuerpos tienen movimiento relativo de rotación, por tanto se aplica las ecuaciones de movimiento relativo en el punto donde se conozca la trayectoria relativa, es decir en A o B.

 

Figura 2.3. Trayectorias relativas para par de rodadura pura o par del lev. (a) rectilínea, (b) curvilínea.

Por otra parte, un par cinemático que puede aparecer en un mecanismo es el Contacto Puntual. En este par cinemático los dos cuerpos siempre están en contacto en un punto, no hay despegue. En este par las ecuaciones de movimiento relativo se aplican en el punto de contacto, donde se conoce la dirección del vector velocidad y aceleración, siendo su módulo la incógnita a determinar. En la Fig. 2.4 se muestran tres posibles configuraciones geométricas. En la Fig. 2.4a se aplica el movimiento relativo en A y se estudia el movimiento 3 respecto a 2, conmoviéndose la dirección de la velocidad y aceleración relativa (traslación paralela a la barra 2). En el caso de la Fig. 2.4b y c  se estudia el movimiento 3 respecto a 2, y la trayectoria de A es tangente a la circunferencia del cuerpo 2.

 

Figura 2.4. Contacto puntual.

El comportamiento cinemático del contacto puntual sobre trayectoria rectilínea es similar el par RP, y cuando la superficie de contacto es curva es similar al RR, con la diferencia que las ecuaciones se aplican en el punto de contacto, ya que es un punto donde se conoce la trayectoria del movimiento relativo.

 

  • ECUACIONES DE COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTO.

 

Las ecuaciones de composición de movimiento permiten relacionar la velocidad y aceleración angular entre dos cuerpos con movimiento relativo de rotación. Así por ejemplo, como muestra la Fig. 2.4 el cuerpo 2 y 3 tienen un movimiento relativo de rotación. La velocidad y aceleración angular absoluta del cuerpo 2 respecto al fijo 1 es   \overrightarrow{\omega}_{21} y \overrightarrow{\alpha}_{21} , respectivamente. De la misma forma, el cuerpo 3 tiene una velocidad y aceleración absolutas  \overrightarrow{\omega}_{31} y \overrightarrow{\alpha}_{31} . A partir de estas velocidades y aceleraciones se puede calcular la velocidad y aceleración relativa mediante la Ec.2.3 y Ec. 2.4, válidas para cuerpos con movimiento plano, ya que todas las velocidades angulares son paralelas.

\overrightarrow{\omega}_{31} = \overrightarrow{\omega}_{32} + \overrightarrow{\omega}_{21}             (2.3)

\overrightarrow{\alpha}_{31} = \overrightarrow{\alpha}_{32} + \overrightarrow{\alpha}_{21}              (2.4)

Figura 2.3. Movimiento relativo de rotación entre dos cuerpos.

Tema 1. Sistema indeformable

por

TEMA 1. CINEMÁTICA DE SISTEMA INDEFORMABLES

Resumen.

En este tema se va estudiar el concepto de mecanismo y sistema indeformable, los mecanismo en general están formados por un conjunto de cuerpos enlazados entre si, estos cuerpos están formados por puntos materiales o físicos, sin embargo a la hora de analizar cinemáticamente un cuerpo pueden estudiarse puntos que no estén físicamente en el cuerpo. Es por ello que existe el concepto de sistema indeformable, que permite referirse a puntos materiales o no, sin embargo todos los puntos tienen que cumplir la condición de indeformabilidad. Definido el sistema indeformable, es necesario analizar el tipo de movimiento que puede presentar, estudiando el movimiento de traslación, rotación y movimiento plano, deduciendo las ecuaciones necesarias para resolver los problemas. Por último se analizara el concepto de radio de curvatura, deduciendo las ecuaciones necesarias para el cálculo del radio de curvatura y el centro de curvatura.

DEFINICIÓN DE MECANISMO

Un mecanismo, en general, es un conjunto de cuerpos unidos entre si y diseñado para transmitir o transformar un movimiento de entrada en uno de salida, con el objetivo de realizar un trabajo útil. Desde el punto de vista de la Teoría de Mecanismos y Máquinas (TMM), lo más importante de un mecanismo es la función cinemática que desempeña, es decir la trayectoria, velocidad y aceleración de sus cuerpos. La cuerpos son considerados lo suficientemente resistentes para soportar las cargas a las que están solicitados. En el estudio cinemático de mecanismos, la forma física del cuerpo no es tan importante, y los mecanismos se modelan con geometrías sencillas para que cumplan su función cinemática. Las uniones entre cuerpos se les denominan pares cinemáticos, estos pares cinemáticos permiten que exista movimiento entre los cuerpos y le aportan movilidad al mecanismo. Existen tres pares fundamentales, el par R (rotación), cuando los cuerpos tienen un movimiento de rotación de uno respecto al otro; par P (prismático), cuando el movimiento entre ellos es de traslación; y el par de rodadura, cuando un cuerpo rueda respecto al otro. Sin embargo, dentro del par de rodadura, la rodadura puede ser pura (no existe deslizamiento), o rodadura tipo leva, cuando además de rodadura existe deslizamiento. Para designar los cuerpos de un mecanismo, se van a enumerar los cuerpos comenzando por el 1 para el cuerpo fijo o bancada, y continuando con el 2 para la barra donde se conozcan los valores de entrada.

  • DEFINICIÓN DE SITEMA INDEFORMABLE

Un sistema indeformable es aquel que cumple la condición de indeformabilidad (Ec.1.1), es decir, que la distancia entre dos puntos cualesquiera no varía con el tiempo. Estos puntos pueden estar dentro o fuera del cuerpo, al conjunto de puntos materiales que forman el cuerpo o elemento se le denomina sólido rígido.

\frac{d\left | \vec{AB} \right |}{dt}=0            (1.1)

 

Figura 1.1. Ejemplo de sólido rígido

Un sistema indeformable puede presentar tres tipos de movimiento en un plano: traslación, rotación o movimiento plano. En el movimiento de traslación no existe rotación, por tanto el vector AB no varía de dirección a lo largo del tiempo (Ec. 1.2). En el movimiento de rotación todos los puntos del sistema indeformable giran alrededor de un punto fijo o eje. Y en el movimiento plano existe una combinación de ambos movimientos, es decir el sistema se traslada y a la vez va girando. A continuación se analizan cada uno de estos movimientos y se describen las ecuaciones que lo caracterizan.

  • MOVIMIENTO DE TRASLACIÓN.

Un cuerpo de un mecanismo se encuentra en traslación cunado entre dos puntos cualesquiera (A,y B) no existe rotación, es decir no gira uno respecto al otro. La condición matemática que deben cumplir dos puntos A y B, es que el vector que los une no varíe en módulo, dirección ni sentido, la Ec. 2 muestra la restricción.

\frac{d\vec{AB} \ }{dt}=0            (1.2)

Dentro del movimiento de podemos distinguir entre traslación rectilínea y traslación curvilínea. En el caso de traslación rectilínea el vector AB describe una trayectoria recta, Fig. 1.2a (mecanismo biela-manivela), y en caso de traslación curvilínea el vector AB describe una trayectoria curva, Fig 1.2b (mecanismo 4-barras).

 

Figura 1.2. Traslación rectilínea (a), traslación curvilínea (b).

  • MOVIMIENTO DEROTACIÓN.

En un mecanismo, un cuerpo tiene movimiento de rotación cuando todos los puntos del cuerpo rotan respecto a un eje de rotación fijo, este eje puede estar dentro o fuera del cuerpo. Por tanto todos los puntos del cuerpo describen trayectorias circulares respecto al eje de rotación.  En la Fig. 3 se muestra la trayectoria del punto A en el movimiento de rotación de la barra 2 alrededor del eje de rotación O2. La velocidad de rotación de un cuerpo se mide a partir de la velocidad angular que tenga (ras/s) o su número de revoluciones por minuto (rpm). Un revolución equivale a una vuelta completa y por tanto a 2π radianes. La velocidad angular de un cuerpo se define como la variación del ángulo de giro del cuerpo respecto al tiempo, y en la dirección del eje de rotación, según la Ec.(1.3).

\vec{\omega }=\frac{d\theta }{dt}\vec{k}=\dot{\theta }\vec{k}           (1.3)

Figura 1.3. Movimiento de rotación cuerpo 2, mecanismo biela-manivela.

Para calcular la velocidad lineal del punto A, es necesario multiplica vectorialmente el vector velocidad angular ( \vec{\omega }), por el vector de posición del punto a (\vec{r}_{A} ), según la Ec. (1.4). El producto de ambos vectores resulta ser un vector perpendicular al plano que los contiene, y su dirección y sentido viene determinado por la regla de la mano derecha. En mecanismos planos, el vector velocidad de un punto con rotación respecto a un eje fijo será tangente a la trayectoria o perpendicular al radio, y el sentido viene marcado por la dirección de la velocidad angular ( \vec{\omega }).

\vec{V}_{A}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{\omega }\times\vec{r}           (1.4)

Para simplificar la resolución de problemas y evitar los errores en la realización de los productos vectoriales, se va a calcular por separado: el módulo ( \omega \cdot r ), dirección (tangente a la circunferencia descrita) y sentido (marcado por \vec{\omega }).

En los cuerpos con rotación, además de velocidad angular, pueden tener aceleración angular. Esta aceleración es la variación de la velocidad angular respecto al tiempo, es decir si existe variación en la velocidad de giro (nº de revoluciones), existe aceleración angular. Sin embargo en los casos donde la velocidad angular permanezca constante durante un tiempo la aceleración angular será nula. La expresión matemática que calcula la aceleración angular de un cuerpo con movimiento de rotación se expresa en la Ec.(1.5).  Este vector está situado en el eje de rotación y las unidades que tiene son rad/s2.

\vec{\alpha }=\frac{d\vec{\omega}}{dt}=\dot{\theta }\vec{k}           (1.5)

Para el cálculo de la aceleración de un punto A se realiza la derivación de la velocidad respecto al tiempo, según la Ec. (1.6).

 

\vec{a}_{A}=\frac{\vec{V}_{A}}{dt}=\frac{d\vec{\omega }}{dt}\times\vec{r}_{A}+\vec{\omega }\times \frac{d\vec{\omega }}{dt}=\vec{}\alpha \times \vec{r}_{A}+\vec{\omega }\times (\vec{\omega }\times \vec{r}_{A})              (1.6)

Analizando la expresión de la aceleración de A, el primer sumando es un vector  que lleva una dirección tangente a la trayectoria (paralela a la velocidad), denominado como aceleración tangencial. Por otro lado el segundo sumando \vec{\omega }\times (\vec{\omega }\times \vec{r}_{A}) es un vector perpendicular a la velocidad y apuntando hacia el centro de giro, a este vector se le denomina aceleración normal. Ambos vectores forman las componentes intrínsecas de la aceleración de un punto en rotación, y se representación gráfica se muestra en la Fig. 1.4

Figura 1.4. Vector velocidad y aceleración de A en el mecanismo biela-manivela.

Por tanto, el cálculo de la aceleración de un punto se hará a partir de la suma de los vectores de las componentes intrínsecas, normal y tangencial. Los módulos de estos vectores se expresan en la Ec. (1.7) y Ec. (1.8).