TEMA 2. CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO RELATIVO
Resumen.
En este tema se va estudiar el concepto de movimiento relativo que se produce entre los distintos cuerpos de un mecanismo. Asimismo se calcula analíticamente las velocidades y aceleraciones relativas de mecanismo con movimiento relativo, apareciendo el concepto de composición de movimiento para velocidades y aceleraciones angulares. Además se estudia el comportamiento cinemático de nuevos pares cinemáticos como el par RP, el par RR y el contacto puntual. Todos los conceptos nuevos se basan en la cinemática de los sistemas indeformables estudiados en el tema 1.
FORMULACIÓN DEL MOVIMIENTO RELATIVO
Un mecanismo está formado por un conjunto de cuerpos o barras unidas entre sí mediante pares cinemáticos. Este mecanismo normalmente pertenece a una máquina diseñada para realizar un trabajo o función. Los mecanismos vistos hasta ahora cuentan con una barra fija (barra 1) y el resto de barras móviles con movimiento de rotación relativo entre ellas, donde el par R tiene la misma velocidad y aceleración para ambos cuerpos (ver tema 1). Sin embargo, pueden presentarse barras unidas por un par cinemático con movimiento relativo, apareciendo una traslación o rotación relativa (ver Fig. 2.1). Para pasar de un cuerpo a otro a través del par cinemático con movimiento relativo es necesario desarrollar nuevas fórmulas que contemplen velocidades y aceleraciones relativas.
Figura 2.1. Mecanismo con movimiento relativo.
Para la demostración de la formulación es necesario definir un sistema de referencia fijo y otro móvil. El sistema de referencia fijo se sitúa en el cuerpo 1 y el sistema de referencia móvil se fija en el cuerpo 3 con movimiento relativo (Fig. 2.1a), y el sistema de referencia móvil se fija en el punto donde existe movimiento relativo. La nomenclatura de los vectores de posición, velocidad y aceleración, deben contemplar qué punto se está estudiando (superíndice), a qué cuerpo pertenece el punto estudiado (subíndice izquierdo) y respecto a que cuerpo se está estudiando el movimiento relativo (subíndice derecho). En el caso de la Fig. 2.1 al existir un par R entre el cuerpo 3 y 4, el punto A tiene la misma velocidad para ambos cuerpos, sin embargo la velocidad del punto A del cuerpo 3 respecto al 2 es distinta, ya que existe movimiento relativo. Para obtener la relación de velocidades en un movimiento relativo, se derivan los vectores de posición respecto al tiempo obteniéndose la Ec. 2.1.
\overrightarrow{V}_{31}^{A}=\overrightarrow{V}_{32}^{A}+\overrightarrow{V}_{21}^{A} = \overrightarrow{V}_{41}^{A} (2.1)
En esta ecuación, la velocidad absoluta del punto A depende de la velocidad relativa de A en el movimiento del cuerpo 3 respecto al 2, y de la velocidad de arrastre (\ overrightrrow{V}_{21}^{A} ) que es la velocidad de A como perteneciente al cuerpo 2 respecto al 1. Para estudiar un movimiento relativo donde existe guía, el movimiento relativo se estudia dejando la guía fija, es decir por ejemplo en la Fig. 2.1 se la velocidad relativa estudiada es 3 respecto al 2.
Para el cálculo de la aceleración, se deriva respecto al tiempo la ecuación de la velocidad, obteniendo la ecuación de la aceleración en movimiento relativo, Ec. 2.2. En esta ecuación aparece la aceleración de coriolis provocada por rotación de la velocidad relativa respecto a la velocidad angular donde se encuentra el sistema de referencia móvil (cuerpo 2).
\overrightarrow{a}_{31}^{A}= \overrightarrow{a}_{32}^{A}+ \overrightarrow{a}_{21}^{A} +2\overrightarrow{\omega}_{21}\times\overrightarrow{V}_{32}^{A}=\overrightarrow{a}_{41}^{A} (2.2)
Por tanto, la metodología a seguir en los problemas consiste en llegar a calcular la velocidad del punto estudiado aplicando la ecuación de movimiento relativo (Ec. 2.2), sin embargo la velocidad y aceleración absolutas respecto al cuerpo 1 que forman parte de la ecuación, se calcula utilizando las ecuaciones de sistema indeformable Ec.(11), (14).
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PARES CINEMATICOS CON MOVIMIENTO RELATIVO
Los pares cinemáticos vistos en el tema 1 son el par R, P, Rodadura Pura y Leva (L), sin embargo en el movimiento relativo puede aparecen dos nuevos pares, el par RP y el RR. El par RP (Fig. 2.2a) se encuentra en la unión de dos cuerpos con movimiento relativo, este par está compuesto por un par R (rotación) en un cuerpo y un par P (traslación) en otro cuerpo. Sin embargo para calcular la velocidad y aceleración relativa dejamos fijo el cuerpo con el par P, por tanto las componentes relativas serán de traslación. Por otro lado, en el par RR (Fig. 2.2b) uno de los cuerpos tiene el par R y otro una guía curva, por tanto dejando fija la guía el movimiento relativo es de rotación.
Figura 2.2. Descripción del Par RP (a) y RR(b)
El par P puede aparecer en mecanismos con movimiento relativo, donde las barras conectadas están en movimiento. En estos casos las ecuaciones de movimiento relativo se aplican en un punto del par, dejando fijas una de las barras, conociéndose la dirección del movimiento relativo.
En el caso del par de Rodadura Pura y par de leva (L) para un movimiento relativo (Fig. 2.3), ambos cuerpos tienen movimiento, por tanto se aplican las ecuaciones de movimiento en un punto donde conozcamos la trayectoria seguida durante el movimiento relativo. En el caso de la Fig. 2.3a, la ecuación de movimiento relativo se aplica en el punto A, ya que se conoce la trayectoria del movimiento relativo, es dejando fija la barra 3, el disco 2 se comporta como un disco sobre una superficie plana, por tanto el centro A describe una trayectoria rectilínea. En el caso de la Fig. 2.3b, los cuerpos tienen movimiento relativo de rotación, por tanto se aplica las ecuaciones de movimiento relativo en el punto donde se conozca la trayectoria relativa, es decir en A o B.
Figura 2.3. Trayectorias relativas para par de rodadura pura o par del lev. (a) rectilínea, (b) curvilínea.
Por otra parte, un par cinemático que puede aparecer en un mecanismo es el Contacto Puntual. En este par cinemático los dos cuerpos siempre están en contacto en un punto, no hay despegue. En este par las ecuaciones de movimiento relativo se aplican en el punto de contacto, donde se conoce la dirección del vector velocidad y aceleración, siendo su módulo la incógnita a determinar. En la Fig. 2.4 se muestran tres posibles configuraciones geométricas. En la Fig. 2.4a se aplica el movimiento relativo en A y se estudia el movimiento 3 respecto a 2, conmoviéndose la dirección de la velocidad y aceleración relativa (traslación paralela a la barra 2). En el caso de la Fig. 2.4b y c se estudia el movimiento 3 respecto a 2, y la trayectoria de A es tangente a la circunferencia del cuerpo 2.
Figura 2.4. Contacto puntual.
El comportamiento cinemático del contacto puntual sobre trayectoria rectilínea es similar el par RP, y cuando la superficie de contacto es curva es similar al RR, con la diferencia que las ecuaciones se aplican en el punto de contacto, ya que es un punto donde se conoce la trayectoria del movimiento relativo.
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ECUACIONES DE COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTO.
Las ecuaciones de composición de movimiento permiten relacionar la velocidad y aceleración angular entre dos cuerpos con movimiento relativo de rotación. Así por ejemplo, como muestra la Fig. 2.4 el cuerpo 2 y 3 tienen un movimiento relativo de rotación. La velocidad y aceleración angular absoluta del cuerpo 2 respecto al fijo 1 es \overrightarrow{\omega}_{21} y \overrightarrow{\alpha}_{21} , respectivamente. De la misma forma, el cuerpo 3 tiene una velocidad y aceleración absolutas \overrightarrow{\omega}_{31} y \overrightarrow{\alpha}_{31} . A partir de estas velocidades y aceleraciones se puede calcular la velocidad y aceleración relativa mediante la Ec.2.3 y Ec. 2.4, válidas para cuerpos con movimiento plano, ya que todas las velocidades angulares son paralelas.
\overrightarrow{\omega}_{31} = \overrightarrow{\omega}_{32} + \overrightarrow{\omega}_{21} (2.3)
\overrightarrow{\alpha}_{31} = \overrightarrow{\alpha}_{32} + \overrightarrow{\alpha}_{21} (2.4)
Figura 2.3. Movimiento relativo de rotación entre dos cuerpos.