TEMA 1. CINEMÁTICA DE SISTEMA INDEFORMABLES
Resumen.
En este tema se va estudiar el concepto de mecanismo y sistema indeformable, los mecanismo en general están formados por un conjunto de cuerpos enlazados entre si, estos cuerpos están formados por puntos materiales o físicos, sin embargo a la hora de analizar cinemáticamente un cuerpo pueden estudiarse puntos que no estén físicamente en el cuerpo. Es por ello que existe el concepto de sistema indeformable, que permite referirse a puntos materiales o no, sin embargo todos los puntos tienen que cumplir la condición de indeformabilidad. Definido el sistema indeformable, es necesario analizar el tipo de movimiento que puede presentar, estudiando el movimiento de traslación, rotación y movimiento plano, deduciendo las ecuaciones necesarias para resolver los problemas. Por último se analizara el concepto de radio de curvatura, deduciendo las ecuaciones necesarias para el cálculo del radio de curvatura y el centro de curvatura.
DEFINICIÓN DE MECANISMO
Un mecanismo, en general, es un conjunto de cuerpos unidos entre si y diseñado para transmitir o transformar un movimiento de entrada en uno de salida, con el objetivo de realizar un trabajo útil. Desde el punto de vista de la Teoría de Mecanismos y Máquinas (TMM), lo más importante de un mecanismo es la función cinemática que desempeña, es decir la trayectoria, velocidad y aceleración de sus cuerpos. La cuerpos son considerados lo suficientemente resistentes para soportar las cargas a las que están solicitados. En el estudio cinemático de mecanismos, la forma física del cuerpo no es tan importante, y los mecanismos se modelan con geometrías sencillas para que cumplan su función cinemática. Las uniones entre cuerpos se les denominan pares cinemáticos, estos pares cinemáticos permiten que exista movimiento entre los cuerpos y le aportan movilidad al mecanismo. Existen tres pares fundamentales, el par R (rotación), cuando los cuerpos tienen un movimiento de rotación de uno respecto al otro; par P (prismático), cuando el movimiento entre ellos es de traslación; y el par de rodadura, cuando un cuerpo rueda respecto al otro. Sin embargo, dentro del par de rodadura, la rodadura puede ser pura (no existe deslizamiento), o rodadura tipo leva, cuando además de rodadura existe deslizamiento. Para designar los cuerpos de un mecanismo, se van a enumerar los cuerpos comenzando por el 1 para el cuerpo fijo o bancada, y continuando con el 2 para la barra donde se conozcan los valores de entrada.
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DEFINICIÓN DE SITEMA INDEFORMABLE
Un sistema indeformable es aquel que cumple la condición de indeformabilidad (Ec.1.1), es decir, que la distancia entre dos puntos cualesquiera no varía con el tiempo. Estos puntos pueden estar dentro o fuera del cuerpo, al conjunto de puntos materiales que forman el cuerpo o elemento se le denomina sólido rígido.
\frac{d\left | \vec{AB} \right |}{dt}=0 (1.1)
Figura 1.1. Ejemplo de sólido rígido
Un sistema indeformable puede presentar tres tipos de movimiento en un plano: traslación, rotación o movimiento plano. En el movimiento de traslación no existe rotación, por tanto el vector AB no varía de dirección a lo largo del tiempo (Ec. 1.2). En el movimiento de rotación todos los puntos del sistema indeformable giran alrededor de un punto fijo o eje. Y en el movimiento plano existe una combinación de ambos movimientos, es decir el sistema se traslada y a la vez va girando. A continuación se analizan cada uno de estos movimientos y se describen las ecuaciones que lo caracterizan.
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MOVIMIENTO DE TRASLACIÓN.
Un cuerpo de un mecanismo se encuentra en traslación cunado entre dos puntos cualesquiera (A,y B) no existe rotación, es decir no gira uno respecto al otro. La condición matemática que deben cumplir dos puntos A y B, es que el vector que los une no varíe en módulo, dirección ni sentido, la Ec. 2 muestra la restricción.
\frac{d\vec{AB} \ }{dt}=0 (1.2)
Dentro del movimiento de podemos distinguir entre traslación rectilínea y traslación curvilínea. En el caso de traslación rectilínea el vector AB describe una trayectoria recta, Fig. 1.2a (mecanismo biela-manivela), y en caso de traslación curvilínea el vector AB describe una trayectoria curva, Fig 1.2b (mecanismo 4-barras).
Figura 1.2. Traslación rectilínea (a), traslación curvilínea (b).
- MOVIMIENTO DEROTACIÓN.
En un mecanismo, un cuerpo tiene movimiento de rotación cuando todos los puntos del cuerpo rotan respecto a un eje de rotación fijo, este eje puede estar dentro o fuera del cuerpo. Por tanto todos los puntos del cuerpo describen trayectorias circulares respecto al eje de rotación. En la Fig. 3 se muestra la trayectoria del punto A en el movimiento de rotación de la barra 2 alrededor del eje de rotación O2. La velocidad de rotación de un cuerpo se mide a partir de la velocidad angular que tenga (ras/s) o su número de revoluciones por minuto (rpm). Un revolución equivale a una vuelta completa y por tanto a 2π radianes. La velocidad angular de un cuerpo se define como la variación del ángulo de giro del cuerpo respecto al tiempo, y en la dirección del eje de rotación, según la Ec.(1.3).
\vec{\omega }=\frac{d\theta }{dt}\vec{k}=\dot{\theta }\vec{k} (1.3)
Figura 1.3. Movimiento de rotación cuerpo 2, mecanismo biela-manivela.
Para calcular la velocidad lineal del punto A, es necesario multiplica vectorialmente el vector velocidad angular ( \vec{\omega }), por el vector de posición del punto a (\vec{r}_{A} ), según la Ec. (1.4). El producto de ambos vectores resulta ser un vector perpendicular al plano que los contiene, y su dirección y sentido viene determinado por la regla de la mano derecha. En mecanismos planos, el vector velocidad de un punto con rotación respecto a un eje fijo será tangente a la trayectoria o perpendicular al radio, y el sentido viene marcado por la dirección de la velocidad angular ( \vec{\omega }).
\vec{V}_{A}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{\omega }\times\vec{r} (1.4)
Para simplificar la resolución de problemas y evitar los errores en la realización de los productos vectoriales, se va a calcular por separado: el módulo ( \omega \cdot r ), dirección (tangente a la circunferencia descrita) y sentido (marcado por \vec{\omega }).
En los cuerpos con rotación, además de velocidad angular, pueden tener aceleración angular. Esta aceleración es la variación de la velocidad angular respecto al tiempo, es decir si existe variación en la velocidad de giro (nº de revoluciones), existe aceleración angular. Sin embargo en los casos donde la velocidad angular permanezca constante durante un tiempo la aceleración angular será nula. La expresión matemática que calcula la aceleración angular de un cuerpo con movimiento de rotación se expresa en la Ec.(1.5). Este vector está situado en el eje de rotación y las unidades que tiene son rad/s2.
\vec{\alpha }=\frac{d\vec{\omega}}{dt}=\dot{\theta }\vec{k} (1.5)
Para el cálculo de la aceleración de un punto A se realiza la derivación de la velocidad respecto al tiempo, según la Ec. (1.6).
\vec{a}_{A}=\frac{\vec{V}_{A}}{dt}=\frac{d\vec{\omega }}{dt}\times\vec{r}_{A}+\vec{\omega }\times \frac{d\vec{\omega }}{dt}=\vec{}\alpha \times \vec{r}_{A}+\vec{\omega }\times (\vec{\omega }\times \vec{r}_{A}) (1.6)
Analizando la expresión de la aceleración de A, el primer sumando es un vector que lleva una dirección tangente a la trayectoria (paralela a la velocidad), denominado como aceleración tangencial. Por otro lado el segundo sumando \vec{\omega }\times (\vec{\omega }\times \vec{r}_{A}) es un vector perpendicular a la velocidad y apuntando hacia el centro de giro, a este vector se le denomina aceleración normal. Ambos vectores forman las componentes intrínsecas de la aceleración de un punto en rotación, y se representación gráfica se muestra en la Fig. 1.4
Figura 1.4. Vector velocidad y aceleración de A en el mecanismo biela-manivela.
Por tanto, el cálculo de la aceleración de un punto se hará a partir de la suma de los vectores de las componentes intrínsecas, normal y tangencial. Los módulos de estos vectores se expresan en la Ec. (1.7) y Ec. (1.8).
